リセマラに価値はあるのか？ガチャの確率についていろいろと計算・考察してみた

2015/12/05

皆さん、リセマラをしたことはありますか？

僕はリセマラしやすそうなゲームの時はリセマラしています。

リセマラする時間があるんだったらバイトして溜めたお金でガチャしたほうがいいというのはわかっているのですが、それでもリセマラしたいのです。

むしろリセマラのほうが楽しくて、いつの間にかリセマラが目的となっていたことも。

そこで、今回はリセマラに着目してみました。

各ガチャの確率によって、何回リセマラしなくてはならないのか、それにかかる時間、リセマラに価値はあるのかなどを計算してみました。

リセマラに必要な時間を知っておけば、これからのリセマラの目安にもなりますしね。

1 リセマラが必要な回数の求め方
2 各確率でのガチャ回数の期待値
3 まとめ

リセマラが必要な回数の求め方

いきなり、30分かかるぞ！と言われてもなんで？となると思いますので、まずはどうやって必要な回数を求めるのかを説明しましょう。

原理がわかれば自分で計算することもできますし、ちょっと応用して別の計算に使えるかもしれません。

ここで使われているのはすべて高校数学で習う範囲なので、高校生以上ならば理解できるはずです。

一応、中学生でもある程度わかるかもしれません。

数式なんて興味ない、よくわからんという方は数式を読み飛ばしてください。グラフを見るだけでも理解できようにしています。

ここからの計算では、ガチャの確率を p としておきます。3%ならばp=0.03ですね。

難しそうだなと思った方はpを0.03などの数字に置き換えて考えてみるとわかりやすいです。

ある回数で1つ目のレアが手に入る確率

まずは、ガチャを何回か引いて、ある回数でやっと1つ目のレアが手に入る確率を考えてみます。

その回数をnとしましょう。n回目のガチャで見事ほしいアイテムをゲットできたということです。

例えば、n=1の時、つまり1回目でレアが手に入る確率はガチャの確率と同じで p ですよね。

逆に1回目でレアが手に入らない確率は 1-p となるわけです。

では、n回目でレアをゲットする確率はというと、n-1回目まではレアが手に入らず、n回目でレアが手に入るので、

$p ( 1 - p )^{ n - 1}$

となります。数式ではピンと来ないと思うので、実際に数字を代入してみましょう。

ガチャの確率pが3%の時、p=0.03を上の式に代入して、nが1から200まで変化するときの様子を見ると下のグラフになります。

それぞれの回数でレアが出る確率

グラフを見ると、1回目に出るときの確率が一番大きいことになっています。

おかしいぞ！1回目でレアが手に入ったこと何てあまりないぞ！と思っている方、その考えは違います。

このグラフはあくまでも、n回目に1つ目のレアを手に入れる確率であって、n回目までにレアを手に入れる確率ではありません。

？？？？？と頭にクエスチョンマークをたくさん思い浮かべていることだと思いますので、具体例で考えてみます。

例えば2回目にレアを手に入れる確率というのは、1回目で手に入らず、2回目で手に入る確率のことです。

10回目にレアを手に入れる確率ならば、9回目まで全部ハズレで、10回目に手に入れる確率のことです。

途中で1回でもアタリが出れば、それは10回目で手に入る確率とは言いません。

そのため、回数が増えれば増えるほどそれだけ連続でアタリが出ていないということなので確率は低くなるのです。

ある回数までにレアが手に入る確率

ではそれならば、ある回数までにレアが手に入る確率を考えてみましょう。

ここでもその回数を n とします。n=10ならば、ガチャを10回引いてそのうち1回でもレアが手に入る確率です。

この計算は、n回全部ハズレとなる確率を1から引けば、1回以上アタリが出る確率となりますね。

$1 - (1-p)^n$

で求められます。

もしくは上で求めた、ある回数で1つ目のレアが手に入る確率を使って求めることもできます。

例えば3回目までにレアが手に入る確率は、

1回目で1つ目のレアが手に入る確率＋ 2回目で1つ目のレアが手に入る確率 + 3回目で1つ目のレアが手に入る確率

ですよね。つまりは、ある回数にレアが手に入る確率をすべて足し合わせればいいというわけです。

これを式で書けば次のようになります。

$\sum_{i=0}^{n} p (1-p)^{i-1}$

こんな数式見せられても・・・ということで、実際に数字を代入してみてみましょう。同じように確率は3%で、nが1から200に変化した時のグラフです。

n回中1回はアタリが出る確率

このグラフのほうが皆さんの直感に近いのではないでしょうか。

つまり、ガチャを回せば回すほど手に入れる確率が上がっていくということです。当然ですね。

確率3%だと、だいたい60回ほどガチャを回せば80％の確率でレアが出るということです。

25回回せば50%の確率でレアが出ます。うーん、多いのか少ないのか微妙だ。

平均何回ガチャが必要か＝ガチャの期待値

では最後に、本題に入りましょう。

一体平均何回ガチャを回せばレアが手に入るのか。

これの計算はまさに確率の期待値を求めることに等しいですね。

上で求めた、ある回数で1つ目のレアが手に入る確率にその回数をかけたものを足し合わせていきます。

1×1回目で1つ目のレアが出た確率＋2×2回目で1つ目のレアが出た確率＋3×3回目で1つ目のレアが出た確率・・・

という計算を無限に続けていきます。式で表すと、

$\sum_{n=0}^{\infty} n p ( 1 - p )^{ n - 1}$

になります。一見難しそうな式に見えるかもしれませんが、上で求めたものを期待値の公式に当てはめただけです。

ごたくはいいからさっさと結果を見せろって？

では、同じように確率3%で、nが1から200まで変化した時の様子を表したグラフは以下のようになります。

確率3%で平均何回のガチャが必要か

きれいなポアソン分布ですね。

一番期待値が大きい場所が、平均して必要なガチャの回数となります。

計算で求めると、その値は32回となりました。

つまり、確率3%だと平均32回もガチャを回す必要があるということです。

こうやって数字で考えると結構大変に思えますね。

各確率でのガチャ回数の期待値

上で求めたのは確率3％の場合です。

おそらく皆さんはもっとほかの確率についても知りたいでしょう。

ということで、よくある確率について求めてみました。

確率1%、確率3%、確率5%、確率10%、確率30%についてのグラフです。

各確率に必要なガチャ平均回数

グラフの見方は3%の時と同じで、一番盛り上がっているところの回数を見ればいいのです。

各確率における平均ガチャ必要回数

ガチャ確率	30%	10%	5%	3%	1%
平均ガチャ必要回数	3	10	20	32	100

グラフを比べてみると一目瞭然ですが、やはり確率が低いほうが回数が多くなっていますね。

3%だと32回にも拘わらず、1％だと100回もガチャが必要とは恐るべし。

リセマラに必要な時間

上のグラフから様々なものが求められます。例えばリセマラに必要な時間を求めてみましょう。

リセマラに必要な時間とと平均ガチャ必要回数を掛け合わせたものがリセマラにかかる時間です。

ただし、リセマラ1回でガチャを2回以上引ける場合は、リセマラ必要時間を引けるガチャの回数で割ってください。

例えば、リセマラ1回につきガチャを2回引ける場合はリセマラに必要な時間を2で割ってください。リセマラ1回10分間で2回ガチャが引ける場合は、リセマラ1回を10÷2=5分となるわけです。

ある程度の目安として、リセマラ1回でガチャを1回引けるときの必要時間を求めてみました。

各確率におけるリセマラ必要時間の平均

ガチャ確率	30%	10%	5%	3%	1%
リセマラ必要時間の平均(1回5分)	15分	50分	1時間40分	2時間40分	8時間20分
リセマラ必要時間の平均(1回15分)	45分	2時間30分	5時間	8時間	25時間
リセマラ必要時間の平均(1回30分)	1時間30分	5時間	10時間	16時間	50時間

この表から何がわかるかといいますと、確率1％のガチャは絶対にリセマラすべきではないということです。

リセマラ1回5分かかるとしてもリセマラに8時間もかかるとかやってられません。

レアを手に入れるのに必要な金額

レアを出すのに平均何回のガチャが必要かもわかっているので、金額も求められます。

平均ガチャ必要回数とガチャ金額を掛け合わせればいいのです。

各確率におけるレアを手に入れるために必要な課金額

ガチャ確率	30%	10%	5%	3%	1%
必要な金額の平均（ガチャ1回300円）	900円	3000円	6000円	9600円	30000円
必要な金額の平均（ガチャ1回500円）	1500円	5000円	10000円	16000円	50000円